Exakt so wie Bingo sagt ist es.
Wenn du klassische Hausfrau bist, also kein Arbeitslosengeld erhältst, können die Kinder und du mit dem Mann in D versichert sein. Dann ist auch D für das Kindergeld zuständig. Aber wie Bingo schon schreibt, das wird erst ausführlich geprüft. Hierzu braucht es wahrscheinlich auch eine Bescheinigung der französischen CAF (Familienkasse), dass hier kein Anspruch besteht. Das kann dauern, und die deutsche Familienkasse ist auch nicht schnell. Das braucht in der Tat Geduld.
Wenn du jedoch in F arbeitest oder Arbeitslosengeld beziehst, ist F prioritär. Dann bist du in F krankenversichert, und die Kinder müssen mit dir versichert werden (keine Wahlmöglichkeit). Dann ist auch F prioritär für die Auszahlung des Kindergelds. Sind die Leistungen in D höher, kann man von D nachträglich eine Differenzzahlung beantragen.
Was man sonst noch erledigen sollte: Auf der Mairie anmelden. Ist in F zwar nicht obligatorisch, aber sinnvoll. Man erhält Informationen, man erhält rechtzeitig Bescheid, wenn es ums Anmelden der Kinder in Kindergarten oder Schule geht (obligatorisch ab dem Jahr, in dem das Kind 3 wird). Und man kann sich für die Gemeinde- und Europawahlen ins Wählerverzeichnis eintragen lassen.