Nach meinem Wissen gibt es in F nur ganz wenige Gründe für eine außerordentliche Kündigung:
Zahlungsverzug - egal ob Miete, Umlagen, Kaution
und Nichtabschluss bzw Nichtnachweis der Versicherung, vorausgesetzt, diese ist im Mietvertrag festgeschrieben
Und in deinem Fall ist Punkt 1 deutlich erfüllt. Von einem 3-monatigen Rückstand habe ich noch nie gehört. Ich würde sofort kündigen. Das bedeutet in F allerdings, dass du dem Mieter (mindestens) 4 Wochen Zeit lassen musst, sich eine neue Unterkunft zu suchen. Also Kündigung per 31.08. per Einschreiben und wenn mehrere Personen im Mietvertrag aufgeführt sind, bitte auch an jeden die Kündigung schicken. Wenn dann die Zahlung kommt, liegt es an dir, ob du die ausgesprochene Kündigung zurück nimmst. Ich würde das -wenn überhaupt - nur bei einer gaaaaanz plausiblen Erklärung machen.
btw wie kommen die bei 2000€/Monat auf 5000€ Rückstand? Teilzahlung? Verkrachtes (Ehe)paar? Einer zahlt, der andere nicht? Dann solltest du evtl mit denen mal reden.