Hallo BadenBaden,
ich bin auch kein Profi, da wir erst seit kurzem in Frankreich wohnen aber folgendes kann ich dir zumindest schoneinmal beantworten. Also wenn du in Deutschland arbeitest bist du durch deine Grenzgängereigenschaft (insofern du die erfüllst) in Deutschland sozialversichert. Somit kannst du normal bei deiner Krankenkasse bleiben und auch wie gewohnt zu deutschen Ärzten gehen. Bis auf die teilweise sperrige Buchstabierung der französisichen Straßennahmen ändert sich somit nichts. :-)
Zu den grundsätzlichen Fragen was das "Grenzgängerdasein" angeht hilft die Seite der EURES-T auch ganz gut:
https://www.eures-t-oberrhein.eu/ueber-eures-t/portraet/ Für die Berechnung der Lohnsteuer, die du als Grenzgänger in Frankreich abführen würdest, gibt es hier schon einige Threads mit Links zu französischen Seiten, auf denen man mit ein paar Angaben die Lohnsteuer berechnen kann.
Gernerell zu meiner Erfahrung Thema nach Frankreich umziehen, wir mussten hierher ziehen ansonsten hätte ich es aufgrund meiner nicht vorhandenen Sprachkenntnisse niemals gemacht und bin heilfroh, dass mein Partner fließend Französisch spricht um all solche Dinge wie Internet, Vermieterprobleme, KFZ-Anmeldung etc. zu regeln. Sicher ist dies auch mit geringen Sprachkenntnissen möglich, aber man muss sich dessen bewusst sein.
Beste Grüße aus dem Elsass!