Hallo Thorsten,
Du könntest die Steuern komplett in D zahlen, aber das wäre ja schade. Die andere Variante ist, dass Du genau Buch führst, wann Du wo bist (auch, wenn Du z.B. auf Dienstreise bist). Dann zahlst Du anteilig in D für die Tage in D (egal ob Büro oder Dienstreise) und den Rest in F (also Homeoffice und eventuelle Dienstreisen in "Nicht-Deutschland"). Allerdings hast Du dann halt in D die Steuerklasse 1. Da Deine Firma dann vermutlich wenig Erfahrung mit Grenzgängern hast, kann es sein, dass Du diversen Unterlagen hinterherlaufen musst. Sozialabgaben bleiben in D.
Aus meiner Sicht empfiehlt sich bei Aufteilung der Steuer zwischen D und F ein Steuerberater.
Auch solltest Du aufpassen, dass in Deinem Arbeitsvertrag steht, dass Du vom Homeoffice arbeitest.
Hoffe, das hilft Dir weiter!
Grüße
Moni