Mal so ganz pragmatisch.
Wichtig für die Steuer ist der Tag der Abmeldung aus D.
Und abmelden kann man sich da jederzeit, sogar ohne einen Mietvertrag aus F präsentieren zu müssen. Also, Abmeldung noch in diesem Monat.
Die 'Anmeldung' in F kann auch verzögert vorgenommen werden. Denn weil du einen Mietvertrag ab 1.6. hast, ist dann auch für Bürokraten klar, dass du ab 1.6. in F wohnst.